河北科技师范学院

一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法

摘要

       本发明属于自动控制技术领域，涉及一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法。本发明在模型参数存在不确定性的情况下，为使髋关节康复机器人能够保证对患者在适当的速度下进行康复训练设计了自适应控制律，其主要步骤为：(1)根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹；(2)根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器的输出变化范围；(3)给出动力学方程中的未知函数和未知控制增益的界函数；(4)计算轨迹跟踪误差以及速度跟踪误差；(5)利用分层模糊逻辑系统和模糊逻辑系统设计控制律。该方法具有安全可靠、控制精度高和实时性好的优点。

主权项

       一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法，应用于髋关节康复机器人，所述髋关节康复机器人包括1个旋转驱动器、4个线性驱动器，所述旋转驱动器用来驱动机器人的主动转动关节以训练患者髋关节的内收、外展运动，所述线性驱动器用来驱动机器人的主动移动关节以训练患者髋关节的屈、伸运动，其特征在于该髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法通过以下步骤实现：步骤1，根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹如下：步骤1.1，为训练右髋关节的内收与外展活动能力，将髋关节康复机器人的旋转驱动器即驱动器1的期望跟踪轨迹设计为<maths num="0001"><math><![CDATA[<mrow><msup><mi>&theta;</mi><mi>r</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfenced open = "{" close = ""><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mi>&pi;</mi><mrow><mn>6</mn><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mi>t</mi><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>6</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub><mo>&le;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>4</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>T</mi><mn>3</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub><mo>&le;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>T</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>4</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>T</mi><mn>4</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>T</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>T</mi><mn>3</mn></msub><mo>&le;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>T</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000011.GIF" width='200' /></maths>(1)式中，t为训练时间，T₁,T₂,T₃为内收、外展的转折时刻，T₄代表完成内收、外展活动一个训练周期的时刻；诸T_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸T_i越大；将(1)式中的<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000012.GIF" width='48' />与<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000013.GIF" width='51' />互换,即得训练左髋关节的内收与外展活动能力的期望跟踪轨迹；步骤1.2，为训练髋关节的屈、伸运动能力，将髋关节康复机器人的第i个线性驱动器即驱动器i(i＝2,3,4,5)的期望跟踪轨迹设计为<maths num="0002"><math><![CDATA[<mrow><msubsup><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>r</mi></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfenced open = "{" close = ""><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mrow><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mrow><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000014.GIF" width='200' /></maths>(2)式中的i＝2,4,5；<maths num="0003"><math><![CDATA[<mrow><msubsup><mi>d</mi><mn>3</mn><mi>r</mi></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfenced open = "{" close = ""><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><mrow><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><mrow><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><msub><mi>t</mi><mn>3</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mo>&le;</mo><msub><mi>t</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000021.GIF" width='200' /></maths>(2)式与(3)式中，t₁,t₂,t₃为屈、伸的转折时刻，t₄代表完成屈、伸活动一个训练周期的时刻，诸t_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸t_i越大；诸h_i＞0为设计参数，视小腿所能抬起的最大高度和驱动器i的最大位移而定；步骤2，根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器位移的变化范围；步骤3，根据髋关节康复机器人动力学方程中未知参数的变化范围，给出其动力学方程中的未知函数f(x)的界函数f^U(x)以及未知控制增益g(d₃)的上界函数g^U(d₃)和下界函数g^L(d₃)；即f^U(x)，g^U(d₃)和g^L(d₃)满足：|f(x)|≤f^U(x)，0＜g^L(d₃)≤g(d₃)≤g^U(d₃)，  (4)其中髋关节康复机器人动力学方程为<maths num="0004"><math><![CDATA[<mrow><mfenced open = "{" close = ""><mtable><mtr><mtd><mrow><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mo>=</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><msub><mi>&tau;</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>g</mi><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>F</mi><mi>i</mi></msub><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>F</mi><mn>3</mn></msub><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000022.GIF" width='200' /></maths>(5)式中：<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000023.GIF" width='200' />T为转置符号；θ为旋转驱动器的角位移，即驱动器1的输出；d₂,d₄,d₅分别为线性驱动器2,线性驱动器4,线性驱动器5在铅直方向上的位移,即分别为驱动器2,驱动器4,驱动器5的输出；d₃为线性驱动器3在水平方向上的位移，即驱动器3的输出；τ₁为驱动器1的驱动力矩，是系统的输入,F₂,F₃,F₄,F₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的驱动力，是系统的输入；g为重力加速度；<maths num="0005"><math><![CDATA[<mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><mi>a</mi><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>-</mo><mn>2</mn><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><msubsup><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><mi>J</mi><mo>+</mo><msub><mi>w</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>ad</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><msubsup><mi>d</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000024.GIF" width='200' /></maths><maths num="0006"><math><![CDATA[<mrow><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>J</mi><mo>+</mo><msub><mi>w</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>ad</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>m</mi><mn>3</mn></msub><msubsup><mi>d</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000025.GIF" width='200' /></maths><maths num="0007"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>w</mi><mi>m</mi></msub></mfrac><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000031.GIF" width='200' /></maths>其中,J为整个机器人的转动惯量；m₂,m₃,m₄,m₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的质量,w_m＝m₂+m₃；a为驱动器1的中心到机器人铅直中轴线的距离，满足2a＞|d₃|；并且，转动惯量J,质量m₂,m₃,m₄,m₅,距离a均为未知的正参数,但这些参数的界是已知的,且有:J^‑＜J＜J⁺,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000032.GIF" width='200' />i＝2,3,4,5；a^_＜a＜a⁺；且J^‑,J⁺,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000312.GIF" width='200' />a^‑,a⁺均为已知的正常数；步骤4，计算轨迹跟踪误差：e₁＝θ_r(t)‑θ,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000033.GIF" width='200' />i＝2,3,4,5；步骤5，计算速度跟踪误差：<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000034.GIF" width='200' />i＝2,3,4,5；步骤6，给定一组正数α_i和β_i，并选取一组具有负实部的复数λ_i1，且满足λ_i1+α_i＜0，取λ_i2为λ_i1的共轭复数，再取k_i1＝‑λ_i1‑λ_i2，k_i2＝λ_i1·λ_i2，i＝1,2,3,4,5；步骤7，选取列向量<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000035.GIF" width='200' />选取矩阵<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000036.GIF" width='200' />并给定2阶正定对称矩阵<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000037.GIF" width='200' />i＝1,2,3,4,5；解李雅普诺夫方程(A_i+α_iI)^TP_i+P_i(A_i+α_iI)＝‑Q_i,  (9)得到正定解：<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000038.GIF" width='200' />P_i的元素由(10)式确定：<maths num="0008"><math><![CDATA[<mrow><mfenced open = "[" close = "]"><mtable><mtr><mtd><msub><mi>p</mi><mrow><mi>i</mi><mn>11</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>p</mi><mrow><mi>i</mi><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>p</mi><mrow><mi>i</mi><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced open = "[" close = "]"><mtable><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>q</mi><mrow><mi>i</mi><mn>11</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>q</mi><mrow><mi>i</mi><mn>12</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>q</mi><mrow><mi>i</mi><mn>22</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>,</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open = "[" close = "]"><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>2</mn><msub><mi>&alpha;</mi><mi>i</mi></msub></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><msub><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>&alpha;</mi><mi>i</mi></msub></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><msub><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>&alpha;</mi><mi>i</mi></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>;</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000039.GIF" width='200' /></maths>(9)式中，I为2阶单位矩阵；步骤8，利用分层模糊逻辑系统设计控制律τ₁:步骤8.1，用两层模糊系统<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000310.GIF" width='200' />来逼近f(x),<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000311.GIF" width='200' />的表达式为<maths num="0009"><math><![CDATA[<mrow><mover><mi>f</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msubsup><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>11</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000041.GIF" width='200' /></maths>(11)式中,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000042.GIF" width='200' />为第1层模糊系统的输入,z₁为第1层模糊系统的输出,第2层模糊系统的输入为<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000043.GIF" width='54' />和z₁；且<maths num="0010"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mo>&lsqb;</mo><msubsup><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mo>...</mo><mo>,</mo><msubsup><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>1</mn></mrow><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub></msubsup><mrow><mo>(</mo><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>&rsqb;</mo></mrow><mi>T</mi></msup><mo>,</mo><msub><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mo>&lsqb;</mo><msubsup><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mo>...</mo><mo>,</mo><msubsup><mi>&xi;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub></msubsup><mrow><mo>(</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>&rsqb;</mo></mrow><mi>T</mi></msup><mo>,</mo></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000044.GIF" width='200' /></maths>其中，L₁为第1层模糊系统中所含的模糊规则数目，L₂为第2层模糊系统中所含的模糊规则数目,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000045.GIF" width='200' />和<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000046.GIF" width='200' />均为模糊基函数,L₁维参数列向量θ_f1和L₂维参数列向量θ_f2均通过自适应律来调节；用模糊逻辑系统<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000047.GIF" width='200' />来逼近g(d₃)，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000048.GIF" width='200' />的表达式为<maths num="0011"><math><![CDATA[<mrow><mover><mi>g</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mi>g</mi></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msubsup><mi>&theta;</mi><mi>g</mi><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>&xi;</mi><mi>g</mi></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>12</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000049.GIF" width='200' /></maths>(12)式中,ξ_g(d₃)＝(ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃))^T,M为模糊规则数目,ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃)为模糊基函数，M维参数列向量θ_g通过自适应律来调节；步骤8.2，设计控制律τ₁：τ₁＝u_c1+u_r1+u_s1,  (13)(13)式中，u_c1为模糊控制项；u_s1为监督控制项，u_r1为误差补偿控制项，分别设计为<maths num="0012"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>c</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mover><mi>f</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mover><mi>f</mi><mo>^</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mover><mi>&theta;</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mi>r</mi></msub><mo>+</mo><msup><msub><mover><mi>k</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>1</mn></msub><mi>T</mi></msup><msub><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><mover><mi>g</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mi>g</mi></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>14</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000410.GIF" width='200' /></maths>其中，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000411.GIF" width='200' /><maths num="0013"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>r</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>&beta;</mi><mn>1</mn></msub><mrow><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub><msup><mi>g</mi><mi>L</mi></msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><msubsup><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>1</mn><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mi>B</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>15</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000412.GIF" width='200' /></maths><maths num="0014"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>s</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>I</mi><mn>1</mn><mo>*</mo></msubsup><mi>sgn</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>1</mn><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>g</mi><mi>L</mi></msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>&lsqb;</mo><mo>|</mo><mover><mi>f</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo><mo>+</mo><msup><mi>f</mi><mi>U</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mo>|</mo><mover><mi>f</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mrow><mi>f</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo><mo>+</mo><mo>|</mo><mover><mi>g</mi><mo>^</mo></mover><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>|</mo><msub><mi>&theta;</mi><mi>g</mi></msub><mo>)</mo></mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>c</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>|</mo><mo>+</mo><mo>|</mo><msup><mi>g</mi><mi>U</mi></msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>c</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>|</mo><mo>&rsqb;</mo><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>16</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000413.GIF" width='200' /></maths>(16)式中:当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000414.GIF" width='190' />时,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000421.GIF" width='154' />当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000415.GIF" width='189' />时,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000422.GIF" width='162' /><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000416.GIF" width='200' /><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000417.GIF" width='69' />为设计者取定的一个正常量；符号<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000418.GIF" width='200' />的含义是：当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000419.GIF" width='200' />时,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000420.GIF" width='200' />当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000051.GIF" width='200' />时,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000052.GIF" width='200' />步骤9，利用模糊系统设计控制律F_i(i＝2,3,4,5):将控制律F_i设计为F_i＝u_ci+u_ri+u_si,i＝2,3,4,5；  (17)(17)式中，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000053.GIF" width='200' />为模糊控制项，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000054.GIF" width='200' />M_i为模糊规则数目,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000055.GIF" width='200' />为模糊基函数；M_i维参数列向量θ_i通过自适应律来调节；u_si为监督控制项，u_ri误差补偿控制项，u_ri,u_si分别设计为<maths num="0015"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>r</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>&beta;</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>&alpha;</mi><mi>i</mi></msub></mfrac><msubsup><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mi>i</mi><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>P</mi><mi>i</mi></msub><mi>B</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>18</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000056.GIF" width='200' /></maths>(18)式中，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000057.GIF" width='200' /><maths num="0016"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>s</mi><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>I</mi><mn>3</mn><mo>*</mo></msubsup><mi>sgn</mi><mrow><mo>(</mo><msup><msub><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mi>T</mi></msup><msub><mi>P</mi><mn>3</mn></msub><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&lsqb;</mo><mo>|</mo><msub><mi>u</mi><mrow><mi>c</mi><mn>3</mn></mrow></msub><mo>|</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>m</mi><mn>3</mn><mo>+</mo></msubsup><mo>|</mo><msubsup><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mn>3</mn><mi>r</mi></msubsup><mo>+</mo><msup><msub><mover><mi>k</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mn>3</mn></msub><mi>T</mi></msup><mover><msub><mi>e</mi><mn>3</mn></msub><mo>&OverBar;</mo></mover><mo>|</mo><mo>&rsqb;</mo><mo>,</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>19</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000058.GIF" width='200' /></maths><maths num="0017"><math><![CDATA[<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>I</mi><mi>i</mi><mo>*</mo></msubsup><mi>sgn</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mi>i</mi><mi>T</mi></msubsup><msub><mi>P</mi><mi>i</mi></msub><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&lsqb;</mo><mo>|</mo><msub><mi>u</mi><mrow><mi>c</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>m</mi><mi>i</mi><mo>+</mo></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>+</mo><mo>|</mo><msubsup><mover><mi>d</mi><mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo></mover><mi>i</mi><mi>r</mi></msubsup><mo>+</mo><msup><msub><mover><mi>k</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mi>i</mi></msub><mi>T</mi></msup><msub><mover><mi>e</mi><mo>&OverBar;</mo></mover><mi>i</mi></msub><mo>|</mo><mo>)</mo></mrow><mo>&rsqb;</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>20</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>]]></math><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA0001434168940000059.GIF" width='200' /></maths>(19)、(20)两式中:当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000510.GIF" width='190' />时，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000511.GIF" width='156' />当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000512.GIF" width='193' />时<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000513.GIF" width='200' /><img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000514.GIF" width='67' />为设计者给定的正常量；符号<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000515.GIF" width='200' />的含义是：当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000516.GIF" width='200' />时，<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000517.GIF" width='200' />当<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000518.GIF" width='200' />时,<img src="http://pic.cnipr.com:8080/xmlData/sq/20171212/201610424740.7/FDA00014341689400000519.GIF" width='200' />i＝2,3,4,5。